Александр Максименко родился в русской крестьянской семье в 1923 году в деревне Александровка Юргинского района Кемеровской области. Окончив среднюю школу, был рабочим в буровой разведке. В 1942 году окончил Новосибирское военно-пехотное училище и был направлен на фронт.
28 сентября 1943 года командир батальона 574-го стрелкового полка 121-й стрелковой дивизии 60-й Армии Центрального фронта  капитан А. Максименко одним из первых в полку с вверенным ему стрелковым батальоном без вспомогательных переправочных средств форсировал Днепр в районе селаГлебовка Вышгородского района Киевской области Украины. Овладев плацдармом на западном берегу Днепра, отразил несколько вражеских контратак превосходящего по силе противника, нанеся ему большие потери в живой силе и технике.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 октября 1943 года за умелое командование стрелковым батальоном, образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм капитану Максименко Александру Петровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
16 июля 1944 года в бою у села Внуковцы Ивано-Франковской области Украины майор Максименко пал смертью храбрых.
 Имя Героя носит школа №1, где учился Максименко А.П., и одна из улиц города Юрга . На фасаде школы № 1 установлена мемориальная доска в память о Герое.